Paradoxe : faut-il jouer au loto ?

Nikki · #1

Au loto ou à l’Euromillions, ou à n’importe quel autre jeu de hasard d’ailleurs…

Désamorçons d’abord l’argument "Espérance négative".
Oui, le loto a une espérance négative : si on joue toutes les grilles, on perd. Autrement dit, il "rend" moins que ce qu’il "prend".

C’est normal : si le loto avait une espérance positive, tout le monde jouerait et il fermerait ses portes après le premier tirage (en fait, pas vraiment à cause du gain à distribuer, qui est fixe, mais vous comprenez l’idée). Et puis, il faut payer l’organisation et l’organisateur.

S’il avait une espérance nulle, cela en vaudrait-il la peine ? Et légèrement négative ?

Je réponds : oui, certainement. Une assurance, une mutuelle ont également une espérance négative car elles offrent un service : la réduction du risque de subir une forte perte.

C’est une exemple illustrant qu’il ne faut pas regarder uniquement l’espérance, mais faire intervenir l’aversion au risque et sa fonction d’utilité personnelle, notamment lorsqu’il s’agit d’atteindre des fortes sommes.

Le Loto offre en effet un service : la probabilité de toucher une forte somme impossible à amasser par son travail. Si l’on considère que cette possibilité est intéressante, il est normal de la payer, via une espérance négative.

C’est un peu un corollaire du Paradoxe de Saint Pétersbourg.

Dès lors, quel est le loto idéal ?
Le loto idéal devrait offrir uniquement des gros gains, mais pas démesurés afin de multiplier le nombre de gagnants. Plutôt proposer 100 fois 1 million d’euros que 1 fois 100 millions. Les fonctions d’utilités sont assez "plates" passé un certain montant. Et supprimer tous les "petits" gains ayant un ordre de grandeur proche du patrimoine des joueurs : ces gains ne servent qu’à entretenir l’addiction. Autant ne pas payer pour ce "service" et favoriser le nombre de gros gagnants.

Combien miser ?
Hors de question de miser le plus grand nombre de grilles sur un même tirage : l’espérance et négative et chaque grille jouée nous en rapproche. Il ne faudrait en jouer qu’une.

Cependant, si l’on a eu intérêt à jouer une fois et que l’on a pas gagné au précédent tirage, on a rationnellement intérêt à jouer une seconde fois, puisqu’on a la même fonction d’utilité et quasi le même patrimoine. Si la décision était rationnelle, elle l’est encore.

D’où ma question : jouer oui, mais à quelle fréquence ? A chaque tirage tant que l’on a pas gagné ? Est-ce que les mathématiques de la décision ont une réponse ?

Je tiens à signaler que j’ai mis ce message dans "Le salon" et pas dans "Placements alternatifs". La question me turlupine, je la conçois dans un cadre surtout théorique.
Je ne joue pas mais je trouve le problème mathématique plus complexe que prévu.
Je pense que les conclusions peuvent s’appliquer dans d’autres domaines (financement de start-up, investissement dans les biotech, juniors pétrolières, dérivés très en dehors de la monnaie…).

Merci pour vos commentaires.

Mots-clés : euromillions, jeu de hasard, loto, probabilité

zeb · #2

Bonsoir Nikki,

Et bien contre toute rationalité, je joue régulièrement.

Il y a 2 facteurs déclenchant l’impulsion :

- Les grosses cagnottes. La je suis dans l’irrationnel absolu, le rêve, le brin de folie.

- La journée ou la semaine de merde au boulot. Quand on me fait vraiment bien chier (clients, commerciaux, responsables de compte ….), je joue, c’est quelque part la soupape, le moyen de se dire "allez vous faire foutre, si je gagne, je ne reviens pas lundi". C’est cathartique en fait.

A+
Zeb

lionelo · #3

Ce que tu décris ressemble a une tontine. Tout le monde mise et pour chacun vient un moment le tour d’avoir le jackpot.

Mais avec les jeux comme le loto, on peut jouer tout une vie et ne jamais gagner. Pour info, il y avait plus de chance d’être frappé par la foudre que de gagner l’euro million.

Tu l’as dit toi même, les investisseurs rationnels essaient de maximiser leur esperance de gain.

@zeb ce n’est pas cathartique, c’est fantasmatique. Mon orthodoxie freudienne me forcait à le dire

Victoire · #4

Vive le phantasme,alors ! Je fais pareil que Zeb,sauf pour les grosses cagnottes qu’au contraire j’évite (trop de monde au bureau de tabac).Mais je joue moins souvent qu’on m’em.au boulot…

BorderLine · #5

Personnellement je joue pas…mais celui qui gagne l’euromillion omg la moule et la nouvelle vie XD

espenlind13 · #6

Une grille de temps à autre … Peut-être une dizaine dans l’année. Amplement suffisant ! De là à le considérer dans une démarche patrimoniale, il y a un fossé que je ne franchirai pas !

lector · #7

pourtant plutôt rationnel, je joue régulièrement aux loteries type loto ou euromillion, uniquement lors de cagnottes importantes.
Comme l’avait décrit Borel au début du 20ème, il ne s’agit pas ici d’une question d’espérance mathématique mais d’une fonction d’utilité somme toute plutôt sympa, car contre 2€ -dont la perte ne va pas m’affecter-, j’ai une possibilité (certes très faible) de changer de vie de manière totalement radicale, comme aucun autre moyen ne le permettrait, sans même compter le rêve pendant quelques heures
Quand jouer ? La rationalité du choix initial continue de s’appliquer du fait de l’indépendance des tirages.. jusqu’au moment où les 2€*x lotos par mois + le temps passé représentent un coup qui n’est plus négligeable. D’où mon choix de ne jouer qu’épisodiquement, au gré des cagnottes.

Nikki · #8

Merci Lector, nous avons la même vision fondée sur les mêmes arguments. J’avais laissé passer Borel, mon message d’origine aurait pu citer ceci en effet :
Émile Borel ? Wikipédia
J’ai un siècle de retard…

lionelo a écrit :
Tu l’as dit toi même, les investisseurs rationnels essaient de maximiser leur esperance de gain.

Non, je disais justement l’inverse. L’idée que je tentais de développer (mal, visiblement), c’est que jouer n’est forcément pas irrationnel, puisque cela peut augmenter l’utilité "espérée" malgré l’espérance négative.

Cependant, je n’ai pas encore mis en application cette idée, peut-être par peur d’avoir à gérer un gros montant

Job · #9

Pareil que Zeb, je claque quand il y a une grosse cagnotte et je rappelle que pour la dépense, c’est un impôt que je consens à régler.

cyrial · #10

Job a écrit :
Pareil que Zeb, je claque quand il y a une grosse cagnotte et je rappelle que pour la dépense, c’est un impôt que je consens à régler.

Choisir les impôts que l’on consent à payer, ce serait une étude intéressante et digne d’un mémoire d’économiste. Pouvoir choisir les impôts auxquels on est d’accord de souscrire, la bonne idée.

Cyrial

sergio8000 · #11

Bonjour,

Nikki, j’ai bien aimé votre analogie entre jouer au loto et payer une assurance pour des évènement improbables : ça m’a fait sourire, car je minimise vraiment mes frais d’assurance (je prends le minimum légal en fait) et rien ne m’irrite plus dans la vie que payer pour une assurance… Je comprends mieux pourquoi je ne suis jamais tenté de jouer au loto maintenant :-).

Derival · #12

Dommage que la FDJ ne soit pas cotée :-)

La loterie italienne l’est, et c’est plutôt un bon investissement.

rb01 · #13

Nikki a écrit :
jouer n’est forcément pas irrationnel, puisque cela peut augmenter l’utilité "espérée" malgré l’espérance négative.

Je n’avais jamais regardé le loto sous cet angle mais effectivement ont peut avoir une "espérance d’utilité" positive, tout dépend du poid que l’on donnera à "- 2€" vs "+ n Millions"

Nikki a écrit :
[…] malgré l’espérance négative.

Faux… Ou plus exactement : "la somme des espérances de chacun des tickets est négative". Et ce n’est pas exactement la même chose. On ne peut pas maximiser sa probabilité de gain pour un ticket donné mais par contre on peut maximiser la somme recue en cas de gain.

En faite il y a un gros biais sur les numéros joués (une grande majorité des gens jouent des dates). Du coup, la répartition des tickets joués est loin d’être aléatoire. Ainsi si on joue un ticket non joué, il est possible que l’espérance du ticket devienne positive.

Ex : imaginons que chaque francais jouent au loto, et que chacun de ces joueurs ne jouent que des dates. Il y a donc un pool de 60Millions x 2€ x 50% = 60M€ (avec un taux de redistribution de l’organisme de jeu de 50%). Simplifions en disant que cette la totalité de cette somme est reditribuée aux gagnants du premier rang.

==> Avec 1 chance sur 20M (loto Fr actuel), un ticket à l’espérance suivante : 60M/20M/NbGagnant - 2 = 3/NbGagnant - 2

==> Si on part du principe que tous les gens ont joué uniquement des dates, tous les tickets ne comportant pas de date ont une espérance énorme de (3/1-2) = 1 € pour 2 € de mise.

Bon, je pense que sur le loto de la FDJ ce n’est pas vraiment faisable. Mais peut être que sur des jeux avec des probas de gagner plus faible, comme le keno ca serait possible d’utiliser le fait que les tickets joués ne soient pas aléatoires. Vous en pensez quoi ?

NB : la redistribution des gagnottes non gagnées précédement permet aussi d’augmenter cette espérance positive

Dernière modification par rb01 (13/08/2012 13h39)

skype · #14

Victoire a écrit :
Vive le phantasme,alors ! Je fais pareil que Zeb,sauf pour les grosses cagnottes qu’au contraire j’évite (trop de monde au bureau de tabac).Mais je joue moins souvent qu’on m’em.au boulot…

Je ne sais pas si vous parlez du temps d’attente dans le bureau de tabac (à ce moment là, ca peut se comprendre) ou bien des chances de gains lors de l’annonce de grosses cagnottes.

Dans le deuxième cas, le fait qu’il y ai plus de monde qui jouent sur un tirage ne vous diminue pas les chances de gains. Elles restent identiques. Vous jouez pour trouver le bon tirage et non pour faire mieux que les autres.

Par contre, vous avez plus de chance de partager le gain si vous gagnez. Mais, comme il est plus important…

Super_Pognon · #15

Derival a écrit :
Dommage que la FDJ ne soit pas cotée :-)

La loterie italienne l’est, et c’est plutôt un bon investissement.

https://www.investisseurs-heureux.fr/up … 120813.jpg

Indirectement, l’entreprise IDSUD, cotée à Paris, détient des parts de la FDJ. La spéculation consiste à valoriser la FDJ dans l’actif d’IDSUD et à penser que FDJ sera cotée. Malheureusement, l’entreprise est très très très mal gérée et les dirigeants arrivent même à dilapider une grosse partie de leur trésor…

Sinon, concernant le loto à proprement parler. Ma formation scientifique me conduit à ne pas jouer à ce type de jeux. J’y suis presque devenu totalement hermétique. Il m’est arrivé de jouer quelques rares occasions. En mettant de côté l’espérance négative, je pense que je pourrais y jouer au maximum une fois par année, pas plus, car ainsi, j’aurais optimisé l’utilité de cette dépense dans mon cas (un bon loisir peu fréquent à bas prix ?).

crosby · #16

La question de savoir s’il était optimal de jouer est en fait à la base de la théorie des probabilités (Pascal a commencé à se pencher dessus en 1654). En d’autres termes beaucoup de gens se sont penchés sur la question.
En particulier en 1965 des pères fondateurs de toute la théorie de la décision, Dubins et Savage ont publié "How to gamble if you must" (Amazon.fr - Inequalities for Stochastic Processes: How to Gamble If You Must - Lester E. Dubins, Leonard J. Savage - Livres). Mais le sous-titre est "Inequalities for stochastic processes" alors c’est un peu technique.
Mais un rapide passage par wikipedia nous dit en résumé ce qu’il faut savoir :

Wikipedia sur la loi de Dubins Savage a écrit :
Mathématiquement, Lester Dubins et Leonard Savage ont démontré en 1956 que la meilleure façon de jouer dans un jeu où les probabilités sont défavorables au joueur consiste à miser toujours ce qui permet d’approcher le plus rapidement le but visé. Intuitivement ce résultat semble évident : si à chaque partie on a plus de chances de perdre que de gagner, autant minimiser le nombre de parties jouées. Ce résultat signifie également, qu’à moins de disposer d’une mise de départ infinie, il n’existe pas de stratégies permettant de renverser les probabilités en votre faveur dans un jeu qui vous est défavorable.
Même dans le cas d’un jeu équitable, le joueur qui a à la fois la possibilité et la volonté de miser le plus se donne plus de chances de ruiner son adversaire et donc de l’empêcher de continuer à jouer : ainsi, au prix d’une perte potentielle plus grande, il se donne aussi plus de chance de gagner. Comme dans toute martingale, cela ne modifie toutefois pas l’espérance des deux joueurs (c’est-à-dire le plus « petit joueur » a moins de chance de gagner mais, aussi paradoxal que ça paraisse, il peut gagner plus !).

Victoire · #17

@Skype:je parlais bien du temps d’attente au bureau de tabac…

Je n’ai d’ailleurs jamais compris pourquoi les grosses cagnottes attiraient autant: les gens ne doivent même pas se rendre compte de l’énormité des gros lots ;finalement un gain plus faible conviendrait tout aussi bien pour la plupart(je parle de gains approchant les 100 millions versus ceux de 2 à 4 millions)

Job · #18

Un petit up
bon vendredi 13 !

Eatwot · #19

A ce propos, quelqu’un d’autre a-t-il acheté un billet pour http://www.1picasso100euros.com/ ?

Rolando33 · #20

J’avoue jouer, malgré ma formation mathématique, pour deux raisons:
- j’achète une part de rêve il m’apparaît donc normal de payer
- un ami m’a dit un jour qu’il jouait car c’était nettement plus sensé qu’espérer gagner sans jouer…

Rolando33.

arquos · #21

Ce que propose la française des jeux finalement ce n’est rien d’autre que d’acheter une part de rêve !
Mais dans la réalité on se fait littéralement dépouiller et ce ne sont pas les probabilités qui vont me contredire.

Rang Résultat Probabilités 1 chance sur Gain moyen (06/10/08 à 01/11/12)

1 5 numéros + n° Chance 0,000 005 % 19 068 840 5 551 724 €
2 5 numéros sans n° Chance 0,000 05 % 2 118 760    103 038 €
3 4 numéros + n° Chance 0,001 %    86 677    1 062 € + mise
3    4 numéros sans n° Chance 0,01 %    9 631    1 062 €
4 3 numéros + n° Chance 0,05 %    2 016    10 € + mise
4 3 numéros sans n° Chance 0,45 %    224    10 €
5 2 numéros + n° Chance 0,69 %    144 5 € + mise
5 2 numéros sans n° Chance 6,25 %    16    5 €
6 1 numéro + n° Chance 3,56 %    28 2 €
6 0 numéro + n° Chance 5,69 %    18    2 €

Source :
Loto ? Wikipédia

Donc réalité ou rêve il faut choisir

koopah · #22

Le gros biais c’est que l’humain se rend bien compte de ce que représente 10 millions d’euros (1 maison + 1 porsche + machin truc). Mais il a beaucoup plus de mal avec les probabilités. Il est difficile d’imaginer combien 1 chance sur XX millions de gagner est faible.

Par exemple, avec une chance sur 10 millions de gagner, il faut jouer environ 7,000,000 de fois pour espérer avoir 1 chance sur 2 de gagner.

Il vous faudra donc jouer tous les jour pendant 19178 ans pour espérer avoir une chance sur 2 de gagner…

Good luck

mafo · #23

ben voilà, j’ai joué hier vendredi 13 au loto ET à euromillion et j’ai gagné AUX 2!

pour un total de 9 € et des brouettes….ça fait quand même plus de 100% de rendement en quelques heures….
Ah le vendredi 13!

Mafo

Dernière modification par mafo (14/12/2013 10h19)

Bluegrass · #24

Je n’ai jamais joué individuellement.
Juste deux ou trois fois en groupe avec des collègues.
Jamais joué non plus dans un casino (d’ailleurs, je n’y ai jamais mis les pieds).
Le jeu, c’est pas mon truc…

Job · #25

mafo a écrit :
j’ai joué hier vendredi 13 au loto ET à euromillion et j’ai gagné AUX 2!
ça fait quand même plus de 100% de rendement en quelques heures….
Ah le vendredi 13!

Chanceux Mafo !
Parce que 100% des gagnants ont tenté leur chance !
Evident que l’on joue pour s’amuser et sans trop y croire !

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Paradoxe : faut-il jouer au loto ?

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lionelo a écrit :

#9 13/08/2012 11h15

#10 13/08/2012 11h20

Job a écrit :

#11 13/08/2012 11h31

#12 13/08/2012 11h37

#13 13/08/2012 11h42

Nikki a écrit :

Nikki a écrit :

#14 13/08/2012 11h52

Victoire a écrit :

#15 13/08/2012 22h58

Derival a écrit :

#16 13/08/2012 23h37

Wikipedia sur la loi de Dubins Savage a écrit :

#17 14/08/2012 00h09

#18 13/12/2013 20h28

#19 13/12/2013 21h25

#20 13/12/2013 21h28

#21 13/12/2013 23h15

#22 14/12/2013 09h04

#23 14/12/2013 10h01

#24 14/12/2013 11h33

#25 14/12/2013 11h50

mafo a écrit :

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