Epargne et intérêts composés : combien de temps pour atteindre 1 M€ ?

Peut-être que ce fil de discussion répondra à vos questions :

Rentier en 20 ans : comment lancer sa fusée ?

Bonjour,

je n’arrive pas à trouver une formule excel ou un site qui me permet de calculer le capital final d’un placement avec les frais annuels. Il existe beaucoup de sites- de formules excel- qui permettent de calculer les valeurs d’un placement avec les intérêts composés, mais je n’arrive pas à trouver soit une formule soit des sites qui intègrent une ligne frais annuel. Le seul que j’ai trouvé me rend des résultats bizarres Streamlit


Dans mon exemple un placement de x€ avec une rentabilité hypothétique de 7 %  et dividendes réinvestis sur 20 ans avec des frais annuel de 1.5 % donne en vrai combien ?

En complément une intégration de la fiscalité à la sortie du placement me serait utile ( bon cela je sais faire)….

Bonne journée

Dernière modification par toto40 (30/10/2023 19h05)

Et si vous preniez une approche plus réaliste et humaine.
Plutôt que de se "saigner" pendant de nombreuses années en observant passivement un capital grandir sans jamais en profiter, ne pas se saigner massivement au départ mais de profiter des intérêts pour alléger, année après année, l’effort d’épargne.
Une deuxième approche serait de prélever une partie des intérêts gagnées ( exemple, 1/3) insuffisant au départ mais de plus en plus bénéfique.
Parce que épargner, c’est bien si on en profite.

Fred42 vous a donné la formule exacte, soit pour 20 ans : 1.05395^20 = 2.86

A propos d’intérêts composés et de temps nécessaire à atteindre tel chiffre ou tel multiplicateur, voici quelques formules à connaître :

Résumé : soit un capital initial C placé au taux constant de X % (avec capitalisation annuelle des intérêts) pendant N années, qui est devenu le capital final C’ ; le capital a donc été multiplié par M = C’/C. Nous avons trois formules à disposition :
C’= C.(1+X)^N
X = M^(1/N) - 1
N=ln(M)/ln(1+X)
(dans ces formules, il faut interpréter les pourcentages comme Excel, c’est à dire que si par exemple le taux d’intérêts est de 3%, X = 0,03)
Si l’on connaît C, X et N et qu’on veut trouver C’, on utilise la première formule.
Si l’on connaît C et C’, donc le multiple M, ainsi que le nombre d’années N, et qu’on veut trouver le taux, on utilise la deuxième formule.
Si l’on connaît le multiple M et le taux X, et qu’on veut savoir au bout de combien d’années on a atteint ce multiple, on utilise la troisième formule.
Fin du résumé

Message plus détaillé :

Au bout de N années, le capital initial C placé à X % (avec capitalisation des intérêts) est devenu :
C’= C.(1+X)^N
Exemple : 100 € placés à 10 % pendant 25 ans :
100* (1+ 0,1)^25 = 100 *1,1^25 = 1083,47 €

A noter :
- ^ est le symbole "exposant". Je préfère l’écriture en exposant (l’exposant est écrit plus petit et plus haut sur la ligne), mais le forum tout comme Excel m’obligent à utiliser la notation informatique ^
- j’aurais préféré écrire les variables en minuscules (et je vous invite à préférer cette écriture) mais le forum me les refuse comme étant des consonnes isolées, d’où les majuscules.
- il faut interpréter les pourcentages comme Excel, c’est à dire que si le taux d’intérêts est de 3%, X est le nombre 0,03

Une formule moins connue (qui se déduit de la précédente) :
Le capital initial, a été multiplié par M au bout de N années. Quel est le taux d’intérêt X du placement qui aurait produit une telle augmentation ? (il s’agit bien sûr d’un taux moyen annuel ; et là aussi on considère un placement qui capitalise les intérêts).
X = M^(1/N) - 1
Exemple : au bout de 25 ans, je constate que le capital initial a été multiplié par 10. Quel est le taux moyen ?
X = 10^(1/25) -1 = 10^0,4 -1 = 1,0965 - 1 = 0,965 = 9,65 %.

On constate que c’est le même exemple dans les deux cas, aux erreurs d’arrondis près. Un capital placé à 10 % pendant 25 ans est grosso modo multiplié par 10.

Autre exemple : l’ETF CW8 valait 91,42 € au 30/10/2009, et 405,86 € au 30/10/2023. De combien a-t-il été multiplié en 14 ans ? 405,86/91,42 = 4,4395
Quel est le taux d’intérêts moyen annuel ?
X = 4,4395^(1/14) - 1 = 0,1123 = 11,23 %

Troisième formule : la règle des 72, parfois appelée règle d’Einstein.
Le capital placé à X% aura doublé au bout de 72/X années.
à 1 % il faut 72/1 = 72 ans
à 3 % il faut 72/3 = 24 ans
à 10 % il faut 72/10 = 7,2 ans
à 20 % il faut 72/20 = 3,6 ans.
A noter :
- c’est seulement un calcul approché. La formule donne un résultat très approché entre 6 et 10 % ; le résultat est moins précis quand on s’éloigne de cette fourchette.
- dans cette formule simpliste, il faut retenir le nombre composant le taux, en oubliant le %. C’est à dire que 3 % doit être remplacé par le nombre 3 (contrairement aux autres formules de ce message, où 3 % doit être pris comme signifiant 0,03).

La formule exacte pour remplacer cette règle des 72 se calcule assez aisément. On sait que 2C=C(1+X)^N (en bon français : le taux X appliqué pendant N années a provoqué un doublement du capital). Un petit coup de logarithme népérien plus tard, on trouve :
N=ln(2)/ln(1+X)
Pour corriger les calculs plus hauts qui ont été faits avec la formule approchée, voici donc les calculs exacts (mais tout de même arrondis à un chiffre après la virgule) :
Pour obtenir un doublement du capital :
à 1 % il faut 69,7 ans
à 3 % il faut 23,5 ans
à 10 % il faut = 7,3 ans
à 20 % il faut 3,8 ans.

Si, au lieu d’un doublement, on cherche un multiplicateur M, on retrouve la même formule, mais plus générale. Le nombre d’années au bout desquelles un capital initial placé à X% annuels a été multiplié par M est :
N=ln(M)/ln(1+X)
A mon avis, c’est cette formule qu’il faut retenir, en remplacement de la règle des 72 et de ln(2)/ln(1+x), puisque c’est la plus puissante des trois. Elle s’applique à tout multiplicateur, pas seulement au doublement. En fait, la règle des 72 sert surtout aux gens qui ont peur des calculs ! Pourtant, il n’est pas difficile d’utiliser la formule complète N=ln(M)/ln(1+X) puisque la fonction ln est disponible partout (calculatrice de l’ordinateur et du smartphone ; Excel ou équivalent).

Par exemple, et pour revenir au sujet du fil : je remplis au taquet mon PEA en composant un portefeuille très diversifié, qui a la bonne idée de progresser de 6 % en moyenne. Combien de temps faudra-t-il pour atteindre le million ?
M = 1 000 000 / 150 000 = 6,67
N= ln (6,67)/ ln (1,06) = 32,6 années

Vérifions : 150 000 * (1+,06)^32,6 = 1 M€, aux erreurs d’arrondi près. Ca marche !

Même question (combien d’années pour atteindre le million), si la performance du portefeuille atteint 11 % de moyenne annuelle ?
N = ln (6,67)/ln(1,11) = 18,2 ans.

N.B. : les performances passées ne présagent pas des performances futures.
N.B.B : attention à l’entourloupe intellectuelle qui consiste à considérer un taux constant pour des placements où ce n’est pas le cas. Ce n’est pas parce que la bourse fait 6% sur le long terme que ce taux vous est "dû" en quelque sorte et qu’il va donc s’appliquer. Si votre capital de 150 k€ placé sur le PEA commence par un bon krach qui vous ramène sa valeur à 75 k€, il faudra de très nombreuses années de 6 % annuel pour monter au million ! En fait, il n’y a quasiment pas de placement qui vous garantit un taux constant ; même le taux du livret A varie.
P.S. : on peut établir toutes ces formules (c’est à dire les trouver à partir de rien, par exemple si l’on est coincé sur une île déserte sans internet) avec un niveau de maths de terminale.
P.P.S. : on peut se constituer un petit tableur Excel qui permet de faire tous ces calculs et qui s’avèrera très pratique.
P.P.P.S : une dernière formule qui sert rarement : on a le capital final C’, on a le taux X et le nombre d’années N, mais on ne sait pas quel était le capital initial. Il faut alors appliquer :
C = C’.(1 + X)^−n
Vérifions avec l’exemple du PEA : on a 1 M € au bout de 32,6 ans à 6%, quel était donc le capital initial ?
C=10^6.(1,06)^-32,6 = 149 633 €. Aux erreurs d’arrondi près, on retrouve bien les 150 k€ initiaux.

Dernière modification par Bernard2K (31/10/2023 14h18)