Bonjour Treffon,
1) Considérons un jeu de bonneteau à une bille et 3 gobelets. Si on identifie le bon gobelet, on triple sa mise. Si on ne le trouve pas, on perd tout.
3 personnes jouent à ce jeu en même temps :
- un parfait idiot (ou un individu complètement soûl, si l’on préfère) : il n’a absolument aucune compétence pour identifier le bon gobelet
- un aveugle parfaitement rationnel : il n’a aussi aucune compétence pour identifier le bon gobelet ; en revanche, il raisonne de façon probabiliste pour maximiser son utilité (son gain)
- un individu pas infaillible mais raisonnablement attentif et compétent : sur un grand nombre d’essais, il va identifier le bon gobelet dans 80% des cas
Chacun mise 10€, leur entière fortune. La rationalité se traduit à la fois par la maximisation de l’espérance de gain et la volonté d’éviter une perte totale.
Sur un seul essai, l’espérance de gain des 3 joueurs est la suivante :
- L’idiot a une chance sur 3 de se retrouver avec 30€ et deux chances sur 3 de se retrouver avec 0€.
- L’aveugle rationnel, pour maximiser son utilité (éviter une perte totale), va miser un tiers de sa mise (3,33€) sur chaque gobelet. Il se retrouvera ainsi avec 10€ dans tous les cas après un essai.
- L’individu compétent a 8 chances sur 10 de se retrouver avec 30€ et 2 chances sur 10 de se retrouver avec 0€. (Bon, on pourrait aussi supposer que lui aussi devrait distribuer ses mises de façon 8/1/1 pour éviter une perte totale.)
En termes probabilistes (sur un grand nombre d’essais), la distribution des mises sur les 3 gobelets sera la suivante :
- Sur le gobelet A (le bon gobelet), il y aura un total de mises de 8€ (par le joueur attentif) + 3,33€ (par l’idiot) + 3,33€ (par l’aveugle), soit 14,67€
- Sur les gobelets B et C (les mauvais gobelets), il y aura un total de mises de 1€ (par le joueur attentif) + 3,33€ (par l’idiot) + 3,33€ (par l’aveugle), soit 7,67€ sur chacun de ces 2 gobelets
Si nos 3 joueurs constituent "le marché" dans son ensemble (il n’y a pas d’autres joueurs), alors ce sont "les prix" des gobelets : 14,67€ pour le bon gobelet, 7,67€ pour chacun des 2 mauvais gobelets. A comparer avec des prix de 24€ pour le bon gobelet et 3€ pour chacun des 2 mauvais gobelets, si le marché n’était composé que d’individus compétents (mais pas infaillibles).
En termes probabilistes, le parfait idiot et l’aveugle rationnel ont exactement le même impact sur le prix des gobelets. Le premier joue au hasard par incompétence, le second distribue ses mises de façon rationnelle pour maximiser son utilité, mais sur un grand nombre d’essais la distribution probabiliste de leurs mises sera la même.
Sur un grand nombre d’essais, il n’y a pas de différence dans la distribution globale des mises (= les comportements d’investissement) entre une masse d’idiots agissant de façon aléatoire et non coordonnée (= des "spéculateurs" incompétents) et une foule d’aveugles rationnels (= la gestion passive).
Cela dit, dans la réalité, les idiots agissent de façon coordonnée, par effets grégaires (modes, panique etc.), renchérissant les prix des mauvais actifs, et rendant encore plus mauvaise leur espérance de gain. Indépendamment des effets grégaires, les idiots sont aussi guidés par des biais de perception ("ce gobelet est joli" = "c’est pas cher", "ça monte", "le dividend yield est super" etc.) qui les conduit à une distribution de mises moins efficace (en termes d’espérance de gain) qu’une distribution purement aléatoire. Donc sur la durée (= un nombre suffisant d’essais), des aveugles rationnels doivent battre des idiots grégaires et biaisés.
2) Supposons maintenant que l’aveugle soit "riche" en comparaison des 2 autres joueurs : il peut miser 20€, alors que les 2 autres joueurs misent 5€ chacun (la mise totale reste de 30€).
Les prix des gobelets passent à :
- Pour le gobelet A (le bon gobelet) : 4€ (par le joueur attentif) + 1,67€ (par l’idiot) + 6,67€ (par l’aveugle) = 12,33€
- Pour les gobelets B et C (les mauvais gobelets) : 0,5€ (par le joueur attentif) + 1,67€ (par l’idiot) + 6,67€ (par l’aveugle) = 8,83€ pour chaque gobelet
L’augmentation du poids des joueurs aveugles dans le marché n’est pas neutre sur le prix : elle tend à faire augmenter le prix des mauvais actifs et baisser le prix des bons actifs. Elle affecte donc l’efficience du marché.
Une augmentation du poids des joueurs idiots aurait le même impact sur les prix et sur l’efficience du marché, a fortiori s’ils sont coordonnés / grégaires / biaisés (ce qui est souvent le cas, dans la réalité).
3) Supposons maintenant que l’aveugle ait accès à l’information sur les mises agrégées des autres joueurs (c’est-à-dire que la mise se fait en 2 temps, d’abord par l’idiot et le compétent, puis par l’aveugle). L’aveugle sait qu’un des 2 autres joueurs (sans savoir lequel) est compétent et il veut tirer avantage de cette "intelligence de marché" (il agit de façon rationnelle). Supposons que les 3 joueurs ont à nouveau 10€ chacun.
En phase 1 de la mise, la distribution des mises (20€ au total) sera la suivante :
- Sur le gobelet A (le bon gobelet) : 8€ (par le joueur attentif) + 3,33€ (par l’idiot) = 11,33€
- Sur les gobelets B et C (les mauvais gobelets) : 1€ (par le joueur attentif) + 3,33€ (par l’idiot) = 4,33€
Conscient que cette distribution des mises n’est pas uniforme du fait de la compétence de l’un des 2 autres joueurs, l’aveugle décide de répliquer cette distribution pour sa propre mise (c’est ce que fait un investisseur en ETF World).
L’aveugle va donc miser :
- (11,33/20) * 10 = 5,67€ sur le gobelet A (le bon gobelet)
- (4,33/20) * 10 = 2,17€ sur chacun des gobelets B et C (les mauvais gobelets)
Par rapport à la situation de départ, l’aveugle rationnel va ainsi faire augmenter son espérance de gain de 10€ à 5,67€ * 3 = 17€, simplement en tirant parti de "l’intelligence de marché". Son espérance de gain va ainsi devenir nettement supérieure de l’idiot (10€ dans notre cas théorique, beaucoup moins dans la réalité en raison des effets grégaires et biais divers).
Quel sera l’impact sur les prix des gobelets de cette stratégie de réplication de l’aveugle rationnel ?
Les "prix de marché" des gobelets vont passer à :
- Pour le gobelet A (le bon gobelet) : 11,33€ + 5,67€ = 17€
- Pour les gobelets B et C (les mauvais gobelets) : 4,33€ + 2,17€ = 6,5€ pour chaque gobelet
La stratégie de réplication du marché n’est donc pas neutre sur les prix, par rapport à un marché constitué uniquement d’investisseurs compétents (les prix sont alors 24/3/3), mais elle est bien neutre par rapport à un marché constitué d’investisseurs compétents et idiots, selon les proportions de notre hypothèse (les prix sont alors 17/6,5/6,5).
4) Jusqu’à présent, nous avons supposé que la contrepartie de nos 3 joueurs avait des fonds illimités, et pouvait rémunérer leurs mises sans limite. Par exemple, dans notre dernier exemple, l’espérance de gain agrégée des joueurs est de 17*3 + 2*(6,5*0) = 51€, pour une mise agrégée de 30€ : c’est donc un jeu nettement perdant pour la contrepartie des 3 joueurs.
Supposons maintenant que la contrepartie des 3 joueurs leur repaie (intégralement, mais pas plus) la somme des mises, après chaque jeu (30€, dans notre exemple). C’est donc un jeu à sommes nulles : c’est une représentation plus précise du marché boursier, sur un horizon court (sur un horizon long, la bourse est un jeu à sommes positives). Nos 3 joueurs misent 10€ chacun.
a) Si l’aveugle ne fait pas de réplication, alors nous retrouvons la distribution des mises de notre situation (1) : 14,67€ sur le bon gobelet (8€ par le joueur compétent + 3,33€ par l’idiot + 3,33€ par l’aveugle), 7,67€ sur chacun des 2 mauvais gobelets.
Les 30€ reviennent aux joueurs selon la distribution suivante :
- (8/14,67) * 30 = 16,36€ pour le joueur compétent (soit une performance de +63,6% sur sa mise)
- (3,33/14,67) * 30 = 6,82€ pour l’idiot
- (3,33/14,67) * 30 = 6,82€ pour l’aveugle
b) Si l’aveugle fait de la réplication du marché, alors nous retrouvons la distribution des mises de notre situation (3) : 17€ sur le bon gobelet (8€ par le joueur compétent + 3,33€ par l’idiot + 5,67€ par l’aveugle), 6,5€ sur chacun des 2 mauvais gobelets.
Les 30€ reviennent aux joueurs selon la distribution suivante :
- (8/17) * 30 = 14,12€ pour le joueur compétent (soit une performance de +41,2% sur sa mise)
- (3,33/17) * 30 = 5,88€ pour l’idiot
- (5,67/17) * 30 = 10€ pour l’aveugle
La rémunération (l’espérance de gain) du joueur compétent a baissé du fait de la stratégie de réplication de l’aveugle.
c) Si l’aveugle est riche (20€ de mise contre 5€ pour les 2 autres joueurs) et fait de la réplication, alors la distribution des mises sur le bon gobelet est la suivante :
- 4€ pour le joueur compétent
- 1,67€ pour l’idiot
- ((4+1,67)/10)*20 = 11,33€ pour l’aveugle "réplicateur"
Soit au total toujours 17€ misés sur le bon gobelet
Les 30€ reviennent aux joueurs selon la distribution suivante :
- (4/17) * 30 = 7,06€ pour le joueur compétent (soit une performance de +41,2% sur sa mise)
- (1,67/17) * 30 = 2,94€ pour l’idiot
- (11,33/17) * 30 = 20€ pour l’aveugle
Donc sous ces hypothèses, l’augmentation du poids des investisseurs aveugles réplicateurs (la gestion indicielle) n’affecte pas la performance relative des investisseurs compétents ni les prix de marché par rapport à la situation de départ du marché (mix d’investisseurs compétents et d’idiots). Plutôt un argument en faveur de la gestion passive, donc.
Mais si l’on considère que le "point neutre" (le breakeven) des investisseurs compétents (la gestion fondamentale compétente) est le résultat de coûts fixes et de coûts variables (c’est bien le cas, dans la réalité), alors la baisse de la performance brute de la gestion fondamentale résultant du poids croissant de la gestion indicielle peut éventuellement conduire à des effets d’éviction des investisseurs fondamentaux / compétents, affectant négativement l’efficience du marché.