Comment modéliser mathématiquement le risque ?

Bonjour Caratheodory,

Votre message me rappelle le type d’exercice que nous faisions en introduction aux loteries, en micro-économie.
L’exercice est intéressant, mais je trouve qu’on ne peut en tirer que des conclusions "évidentes" : si on a plus de capital on a moins de chances de faire faillite, certes mais ce n’est pas un scoop. (c’est valable car ici on retire un montant fixe et non pas un pourcentage du capital ce qui serait plus proche de la réalité)
De mon expérience, complexifier le modèle n’apporte pas tellement plus non plus, on finit par arriver sur des modèles impossibles à calibrer.

Si on cherche tout de même à faire le parallèle entre votre modèle et la réalité, il me semble évident qu’on se situe dans le cas p>0.5.
Pour votre remarque sur les euros constants, si l’inflation est constante on peut la réintégrer dans la valeur de p, et donc se ramener à un cas sans inflation.
Mais une fois qu’on a dit ça, qu’est-ce qu’on fait ? Dans la vraie vie, elle ne l’est pas, p ne l’est probablement pas non plus, et rien qu’essayer de définir ces deux éléments comme des suites rend le modèle incalibrable (ou arbitraire), comme dit plus haut. Et je ne parle même pas de remplacer les + et -1 par +a et -b, ni même ajouter plus de cas discrets ou soyons fous, passer en continu…
"Ce qui est simple est toujours faux. Ce qui ne l’est pas est inutilisable." Paul Valéry

Bref, je trouve ce genre de modèle intéressant intellectuellement (encore que, pas tous), mais inutilisables en pratique. J’en parle d’autant plus facilement que mon métier consiste à en construire…

Par curiosité, je serais par contre intéressé par les exercices qu’il vous a proposé, et en particulier celui proposant un cas particulier non intuitif (c’est ce que j’ai compris quand vous parlez de "caractéristique paradoxale" mais j’ai peut-être sur-interprété ce que vous vouliez dire). Éventuellement en MP si vous estimez que ça n’a pas sa place ici.

Bonsoir,

déjà c’est très bien de se rendre compte qu’il y a un risque en face de chaque rendement. Certains l’avaient peut être oublié  et les mois derniers leur ont rappelé cette réalité. Pour comparer deux actifs, seul le ratio PERF / RISQUE ENCOURU (volatilité) a un sens.

peut être voir du côté de la construction du portefeuille all weather de Ray Dalio qui part du postulat qu’on ne sait pas prévoir, et que donc il faut se préparer à tout (croissance ou récession X inflation ou déflation) en mixant un certain nombre de classes d’actifs.

ensuite il y aussi ceux qui les pondèrent chaque classe d’actif par la volatilité, ce qui correspond à un modèle de risk parity, bon je caricature un peu mais il y a de l’idée je pense.

bonne soirée.

toufou a écrit :

l’évolution d’un indice boursier une année n, n’est pas une donnée aléatoire indépendante du résultat de l’année n-1.Il y a un phénomène de retour à la moyenne.

Correction : il existe une théorie de retour à la moyenne ; qui est loin d’être vérifiée en pratique sinon les stratégies d’investissement seraient omniprésentes et surperformeraient toutes les autres. Ce n’est pas le cas à ma connaissance.

J’expliquerai les autres modèles par la suite mais il faut un peu de temps pour rédiger et énoncer les résultats sous une forme qui ne soit pas trop incompréhensible.

Il y a beaucoup de forumeurs qui ont une certaine compréhension qualitative du risque mais très peu et uniquement des professionnels de la finance en ont une compréhension quantitative.  Ça m’intéresserait de progresser dans cette direction.

Je souscris à votre remarque sur la diversification, doubletrouble. C’est bien une conséquence de votre modification du modèle.

*****

Le problème que le gain à chaque pas ne dépend pas de la fortune rend effectivement le modèle irréaliste. C’est une conséquence d’un biais mathématicien qui est que je porte mon attention sur les phénomènes asymptotiques, c’est à dire qui ne se produisent que quand N tend vers l’infini.
Keynes a certes  une manière moins réjouissante d’envisager le long terme….. 

Il y a une façon très simple de répondre à cette objection en produisant un modèle qualitativement équivalent mais quantitativement différent.

Pour a>1  le processus a^X
modelise la situation suivante:

Au temps 0 on part avec a^K.

De N a N+1 le capital prend ou perd 100(a-1)%.

On est ruiné quand on est rendu à 1.
On peut imaginer que 1 correspond à 0.01€ et que le courtier décide de fermer le compte-titres s’il descend sous cette somme!

Les probabilités de ruine sont évidemment inchangées.

Si on n’est pas ruiné la fortune croitra exponentiellement mais avec des écarts de fortune  exponentiels à l’intérieur même de la classe favorisée. 

Le modèle ou les gains/pertes ne dépendent pas pas de la fortune ressemble à un système socialiste avec persistance de la propriété privée sans taxation du patrimoine où chacun consomme la même quantité mais a ses revenus taxés de telle sorte que les niveaux de vie sont totalement égalisés. De plus comme chez Jean Ferrat, il y a une année bonne et l’autre non.

Cette interprétation illustre surtout que les modèles mathématiques ne dépendent pas de ce qui est modélisé. 

*****

Un truc totalement fou dans les cours de finance mathématique moderne (je consulte ceux de l’X en ce moment) est qu’ils insistent sur la fausseté de leurs modèles. Il y a plusieurs raisons pour celà. Mais c’est une toute autre histoire qui ne se raconte pas en langage mathématique.

toufou a écrit :

Je m’excuse, je ne suis pas mathématicien donc je dis peut être une grosse bêtise, merci de me corriger.
Il me semble que le postulat suivant ne peut que difficilement s’appliquer à un placement ( en tout cas, ce n’est pas le cas général) :
Ce qui se passe dans les transitions du temps N au temps N+1 est statistiquement indépendant de ce qui s’est passé avant N et de ce qui se passera après N+1 (le nom savant est: processus de Markov) .
Par exemple, l’évolution d’un indice boursier une année n, n’est pas une donnée aléatoire indépendante du résultat de l’année n-1.

Ce n’est pas une bêtise. C’est un appui sur là où ça fait mal. L’incalculabilité du non-markovien. Mais le point de vue markovien autorise  une dépendance des probabilités de transition au temps N par rapport au temps discret N,  à X_N et plus encore.

Dernière modification par Caratheodory (14/05/2020 23h51)

Calculer un processus markovien revient en gros à faire des produits de matrices. Si les transitions sont indépendantes du temps on calcule des puissances de matrices. Il n’y a que peu de situation mathématique ou on sache si bien ce qu’il faut faire qu’avec les puissances de matrices.

Il n’existe pas d’outil mathématique de cette nature en non-markovien. Ca ne veut pas dire qu’on ne peut rien faire juste qu’on part à l’aventure dans une zone inexplorée.

Évidemment on peut toujours demander à l’ordinateur de faire les calculs, mais par définition en non-markovien  les dépassements de mémoire sont au programme!

Dernière modification par Caratheodory (15/05/2020 08h17)

On ne peut pas calculer p mais on peut l’estimer par des techniques de statistiques inférentielles. Qui  peuvent même invalider le modèle! C’est une des partie des maths que je comprends le moins bien mais ça existe.

Quand bien même ça marcherait, la détermination à priori de p par un modèle économique est un problème bien plus dur.

La définition de risque, si elle repose sur des propriétés mathématiques d’un modèle probabiliste en temps discret (on peut toujours restreindre le processus temps continu au temps discret) , doit être indépendante des détails du modèle et doit faire sens en non-markovien.

Ps: je vais regarder le cours de Dauphine, il est moins inhumain que ceux de l’X.

On ne peut pas estimer p en observant un seul portefeuille.

Voilà comment s’applique  le plus simple des résultats intéressants des statistiques inférentielles si je le cite correctement: 

Il faut observer 1000 portefeuilles de 1000 personnes différentes pour donner un estimation acceptable de p avec +/- 3% de marge d’erreur en ayant moins de 5% de chance de se tromper (et encore j’ai un petit doute sur les valeurs de p très proches de 0 ou 1).

C’est en raison du même résultat que les échantillons des sondages sérieux lors des élections sont de 1000 personnes.

Pour avoir une marge d’erreur de +/-0.3% en ayant moins de 5% de chance de se tromper il faudrait des échantillons de 100000 personnes!

Il faut prendre les  3% de marge d’erreur comme un ordre de grandeur un peu pessimiste. Selon ce que j’en comprends, les instituts de sondages ont des méthodes, prenant en compte d’autres observations,  qui permettent de faire un peu mieux mais je n’ai jamais rien lu la dessus et je suis beaucoup plus ignorant en stats qu’en probas.

Je n’aborde pas le cas des tests médicaux surtout que les faux positifs brouillent les cartes quand les taux de prévalence sont faibles. Cependant la malédiction du nombre 1000 les  frappe aussi.

*****

J’avais promis les petit jeux du chercheur d’HEC

Commençons par le plus simple. On part avec 5€, à chaque coup on gagne 1.1€ avec proba 0.5  et on perd 1 € avec proba 0.5. On a le droit d’être a découvert d’une somme arbitraire.
E_N l’ espérance de fortune au temps N est:
E_N=5+0.05*N
X_N/N tend vers 0.05 avec proba 1.

Le plus compliqué est ce même modèle avec ruine et sortie du jeu comme j’ai raconté. Le comportement ressemble à mon modèle avec p=0.525 (la proba de ruine finale sera plus compliquée à estimer).

Un jeu facile. On part avec 1€. Le portefeuille double avec proba 0.5 et reste inchangé avec proba 0.5.
E_N= (1.5)^N. Mais là vient le truc marrant: avec probabilité 1 la fortune de chaque joueur est de l’ordre de (1.4)^N - le 1.4 est en fait la racine carrée de 2. Donc il y a une partie de taille de plus en plus petite qui devient infinement plus riche que Mme Michu.

Le même jeu avec une fortune multipliée par 1,6 avec proba 0.5 et 0.5 avec proba 0.5. E_N=(1.05)^N mais avec proba 1 la fortune de chaque joueur est de l’ordre de q^N avec q<1 donc en temps infini la ruine a une probabilité de 100%. q est la moyenne géométrique de 1.6 et 0.5, 1.05 la moyenne arithmétique.

Et si c’était la raison de l’impopularité des marchés boursiers en France? En tous cas, c’est le modèle qu’il trouvait le plus interessant. Curieusement je n’avais jamais fait l’exo tout ce que j’avais vu est qu’il était trivial *mathématiquement* mais pas qu’il etait non trivial financièrement.

Dernière modification par Caratheodory (15/05/2020 20h13)

Caratheodory a écrit :

Il faut observer 1000 portefeuilles de 1000 personnes différentes pour donner un estimation acceptable de p avec +/- 3% de marge d’erreur en ayant moins de 5% de chance de se tromper (et encore j’ai un petit doute sur les valeurs de p très proches de 0 ou 1).

Vos 1000 portefeuilles vont être très fortement corrélés, le théorème de la limite centrale classique ne s’applique plus et il sera  très difficile (impossible?) de savoir ce qui le remplace.

Alpins a écrit :

Caratheodory a écrit :

Il faut observer 1000 portefeuilles de 1000 personnes différentes pour donner un estimation acceptable de p avec +/- 3% de marge d’erreur en ayant moins de 5% de chance de se tromper (et encore j’ai un petit doute sur les valeurs de p très proches de 0 ou 1).

Vos 1000 portefeuilles vont être très fortement corrélés, le théorème de la limite centrale classique ne s’applique plus et il sera  très difficile (impossible?) de savoir ce qui le remplace.

Vous avez raison de préciser cette hypothèse et de donner l’idée de la preuve du theoreme. 

C’est pourquoi il est de bonne méthodologie est d’observer des portefeuilles sur 1000 mois au moins.

John Bogle regarde l’evolution des marchés actions depuis 1800.  Maintenant il n’est pas déraisonnable  de regarder des données sur l’évolution annuelle du marché sur 30 ans, sur 75 ans,  sur 150 ans et sur 220 ans. 

Il est toujours possible que "Cette fois, c’est différent" et ce le sera nécessairement un jour.  Par exemple, quand le soleil sera une géante rouge. Mais ça viendra bien avant.

La corrélation des portefeuilles devrait passer en effet par la conjoncture.   Sur une très longue périodes on peut supposer que la conjoncture en a vu de toutes les couleurs.

L’hypothèse que je ferais pour le marché actions est:

- la loi de log X_{N+1} sachant log  X_N
a une variance élevée
- mais une dépendance assez molle en N.  Disons avec une échelle de temps de l’ordre de la décennie.
- qu’elle est une résultante de la structure économique sous-jacente.

Je n’ai pas d’hypothese pour sa dépendance en X_N.

C’est juste une façon compliquée d’exprimer ce que je comprends des statistiques mises en avant par Bogle.

Mais j’ajouterai un grain de sel: elle n’est apparemment pas gaussienne (l’idée est due à Benoit Mandelbrot et a causé un certain émoi il y a 12 ans.).

Bref, tout ça modélise le marché et non le risque.

Bonsoir Mopp,

Je voudrais vérifier que le comprends bien  la notion de quantile.

On se donne un portefeuille de valeur X_0 en 0, X_T en T.  X_0 est connu X_T est une variable aléatoire dont on valide la loi par des méthodes statistiques en faisant des backtests.

La quantile à 90% est il la plus petite perte potentielle L telle que
P(X_0-X_T > L)<0.1?

A la nuance > /  >=  près. Votre remarque suppose une hypothèse de continuité sur la fonction de répartition de X_T. 

L’objet essentiel est cette fonction de répartition qui décrit complètement la loi de X_T dans le modèle de marché.

@JGT: est ce que vous pourriez élaborer sur le risque de manipulation comptable et surtout sur comment il s’applique dans le cas des foncières cotées?

Les statistiques que vous avez données sur les faillites des entreprises en fonction de leur note de crédit n’incluent-elles pas cette éventualité?

N’y a t-il pas un autre risque dans le cadre du marché actions: celui qu’il y ait recapitalisation fortement dilutive pour justement éviter la faillite?

La difficulté avec votre approche est qu’elle demande bien plus qu’un M2 de finance quantitative, elle demande une pratique professionnelle de la finance avec le maniement d’outils et de techniques délicats, pratique qui ne s’acquiert que sur le terrain en apprenant au contact de techniciens aguerris qui investissent en vous.

Quoi qu’il en soit, qu’il soit possible ou non d’appliquer vos méthodes, que ceci soit votre vision, de professionnel de la finance, du risque financier me parait une information pertinente.